Perímetro e Área de Figuras Planas

Figuras Planas

O estudo da área de figuras planas está ligado aos conceitos relacionados à Geometria Euclidiana, que surgiu na Grécia antiga embasada no estudo do ponto, da reta e do plano. No mundo em que vivemos, existem inúmeras formas planas existentes, que são construídas a partir dos elementos básicos citados anteriormente. Desde a antiguidade, o homem necessitou determinar a medida da superfície de áreas, com o objetivo voltado para a plantação e a construção de moradias. Dessa forma, ele observou uma melhor organização na ocupação do terreno.
Atualmente, o processo de expansão ocupacional utiliza os mesmos princípios criados nos séculos anteriores. A diferença é que hoje as medidas são padronizadas de acordo com o Sistema Internacional de Medidas. Dentre as medidas de área existentes temos:

km²: quilômetro quadrado
hm²: hectômetro quadrado
dam²: decâmetro quadrado
m²: metro quadrado
dm²: decímetro quadrado
cm²: centímetro quadrado
mm²: milímetro quadrado

Na Geometria, as formas mais conhecidas são: triângulo, quadrado, retângulo, paralelogramo, losango, trapézio e círculo. Todas essas formas possuem fórmulas matemáticas para o cálculo da medida de suas superfícies. Para o cálculo de área envolvendo as figuras mais complexas desenvolvemos cálculos matemáticos específicos entre outras técnicas.
Nesta seção iremos abordar o cálculo da superfície das principais formas planas existentes, relacionando a figura com sua fórmula matemática.

  Perímetro

Perímetro de uma figura plana fechada é o comprimento da linha que limita a figura, comprimento do contorno.
 

Veja o exemplo:

O perímetro da figura é a soma de todos os seus lados:

P = 10 + 8 + 3 + 1 + 2 + 7 + 2 +3
P = 18 + 4 + 9 + 5
P = 22 + 14
P = 36

A unidade de medida utilizada no cálculo do perímetro é a mesma unidade de medida de comprimento: metro, centímetro, quilômetro... 

O perímetro da figura abaixo é o contorno dela, como não temos a medida de seus lados, para medir o seu perímetro devemos contorná-la com um barbante e depois esticá-lo e calcular a medida.

Área

Área de uma figura plana fechada é a extensão que essa figura ocupa.

Cálculo da Área do Triângulo

Denominamos de triângulo a um polígono de três lados.

Observe a figura ao lado. A letra h representa a medida da altura do triângulo, assim como letra b representa a medida da sua base.

A área do triângulo será metade do produto do valor da medida da base, pelo valor da medida da altura, tal como na fórmula abaixo:

A letra S representa a área ou superfície do triângulo.

No caso do triângulo equilátero, que possui os três ângulos internos iguais, assim como os seus três lados, podemos utilizar a seguinte fórmula:

Onde l representa a medida dos lados do triângulo.

Cálculo da Área do Paralelogramo

Um quadrilátero cujos lados opostos são iguais e paralelos é denominado paralelogramo.

Com h representando a medida da sua altura e com b representando a medida da sua base, a área do paralelogramo pode ser obtida multiplicando-se b por h, tal como na fórmula abaixo:

Cálculo da Área do Losango

O losango é um tipo particular de paralelogramo. Neste caso além dos lados opostos serem paralelos, todos os quatro lados são iguais.

Se você dispuser do valor das medidas h e b, você poderá utilizar a fórmula do paralelogramo para obter a área do losango.

Outra característica do losango é que as suas diagonais são perpendiculares.

Observe na figura à direita, que a partir das diagonais podemos dividir o losango em quatro triângulos iguais.

Consideremos a base b como a metade da diagonal d1 e a altura h como a metade da diagonal d2, para calcularmos a área de um destes quatro triângulos. Bastará então que a multipliquemos por 4, para obtermos a área do losango. Vejamos:

Realizando as devidas simplificações chegaremos à fórmula:

Cálculo da Área do Quadrado

Todo quadrado é também um losango, mas nem todo losango vem a ser um quadrado, do mesmo modo que todo quadrado é um retângulo, mas nem todo retângulo é um quadrado.

O quadrado é um losango, que além de possuir quatro lados iguais, com diagonais perpendiculares, ainda possui todos os seus ângulos internos iguais a 90°. Observe ainda que além de perpendiculares, as diagonais também são iguais.

Por ser o quadrado um losango e por ser o losango um paralelogramo, podemos utilizar para o cálculo da área do quadrado, as mesmas fórmulas utilizadas para o cálculo da área tanto do losango, quanto do paralelogramo.

Quando dispomos da medida do lado do quadrado, podemos utilizar a fórmula do paralelogramo:

Como h e b possuem a mesma medida, podemos substituí-las por l, ficando a fórmula então como sendo:

Quando dispomos da medida das diagonais do quadrado, podemos utilizar a fórmula do losango:

Como ambas as diagonais são idênticas, podemos substituí-las por d, simplificando a fórmula para:

Cálculo da Área do Retângulo

Por definição o retângulo é um quadrilátero equiângulo (todo os seus ângulos internos são iguais), cujos lados opostos são iguais.

Se todos os seus quatro lados forem iguais, teremos um tipo especial de retângulo, chamado de quadrado.

Por ser o retângulo um paralelogramo, o cálculo da sua área é realizado da mesma forma.

Se denominarmos as medidas dos lados de um retângulo como na figura ao lado, teremos a seguinte fórmula:

Cálculo da Área do Círculo

A divisão do perímetro de uma circunferência, pelo seu diâmetro resultará sempre no mesmo valor, qualquer que seja circunferência. Este valor irracional constante é representado pela letra grega minúscula pi, grafada como:

Por ser um número irracional, o número pi possui infinitas casas decimais. Para cálculos corriqueiros, podemos utilizar o valor 3,14159265. Para cálculos com menos precisão, podemos utilizar 3,1416, ou até mesmo 3,14.

O perímetro de uma circunferência é obtido através da fórmula:

O cálculo da área do círculo é realizado segundo a fórmula abaixo:

Onde r representa o raio do círculo.


Cálculo da Área de Setores Circulares

O cálculo da área de um setor circular pode ser realizado calculando-se a área total do círculo e depois se montando uma regra de três, onde a área total do círculo estará para 360°, assim como a área do setor estará para o número de graus do setor.

Sendo S a área total do círculo, Sα a área do setor circular e α o seu número de graus, temos:

Em radianos temos:

A partir destas sentenças podemos chegar a esta fórmula em graus:

E a esta outra em radianos:

Onde r representa o raio do círculo referente ao setor e α é o ângulo também referente ao setor.


Cálculo da Área de Coroas Circulares

O cálculo da área de uma coroa circular pode ser realizado calculando-se a área total do círculo e subtraindo-se desta, a área do círculo inscrito. Podemos também utilizar a seguinte fórmula:

Onde R representa o raio do círculo e r representa o raio do círculo inscrito.




Referências:
http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/area-perimetro.htm
http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/areas-figuras-planas.htm
http://www.matematicadidatica.com.br/GeometriaCalculoAreaFigurasPlanas.aspx